現在ご利用頂いている弊社サーバー内のメールデータを他社サービスのサーバーへは持ち越せません。
移行先他社サービスのサーバーへメールデータが持ち越せない事で、利用されているメールソフトウェア内に存在しているメールデータがどうなるかについては、メールソフトウェア（Outlook、Thunderbird等）の仕様によります。
基本的にはPOP形式での受信の場合はメールソフトウェア内に受信したメールは保存されているので影響はなく、IMAP形式であればサーバーとの同期になりますので移行前のメールアドレスと同じメールアドレスで新しいサーバーへ接続した場合受信メールデータは消えます。
詳しくはメールソフトウェア開発元へお問い合わせください。
IMAP と POP とは何ですか。 - Microsoft サポート